2.6. Параболические уравнения
Уравнения параболического типа наиболее часто встречаются при
изучении процессов теплопроводности и диффузии. В качестве
простейшего представителя параболических уравнений будем
рассматривать уравнение теплопроводности
22
22
1
...
n
u u u
t
xx
.
Основные свойства решений этого уравнения не зависят от
.n
2.6.1. Уравнение теплопроводности в пространстве
Если некоторое тело неравномерно нагрето, то тепло начнет
распространяться от более нагретых участков к менее нагретым.
Обозначим температуру тела в точке
,,M x y z
через
.u
Температура
будет зависеть от координат
,,x y z
и времени
,t
т. е.
, , , .u u x y z t
Множество точек, в которых функция
, , ,u u x y z t
принимает одно
и то же значение
C
в фиксированный момент времени
0
,tt
называется
изотермической поверхностью. Изотермическая поверхность определяется
уравнением
0
, , , ,u x y z t C
или
1
, , .u x y z C
Форма и расположение изотермической поверхности меняется с
течением времени
.t
Направление наибольшей скорости изменения температуры совпадает
с направлением градиента функции
, , ,u u x y z t
при данном значении
,t
т. е. с направлением вектора
grad .
u u u
u i j k
x y z
В точках изотермической поверхности градиент направлен по нормали
n
к этой поверхности в сторону возрастания функции
,u
причем
grad
u
u
n
.
Считается, что величина
Q
теплового потока через малый участок
изотермической поверхности площади
за промежуток времени
t
выражается формулой
,
u
Q k t
n
(2.51)
где
k
– коэффициент теплопроводности, который будем полагать
постоянным.
6А1 (Замечание). Тепловой поток считают положительным, если его
направление совпадает с выбранным направлением нормали к
изотермической поверхности. Знак «-» в формуле (2.51) означает, что
тепло передается от более нагретых участков к менее нагретым (т. е. в
противоположную сторону, если
0,
u
n
так как
u
возрастает в этом
направлении и
0;Q
если
0,
u
n
то
0).Q
6А2 (Замечание). В одномерном случае, т. е. в случае распространения
тепла в стержне, изотермическими поверхностями являются поперечные
сечения стержня, направление нормали к ним совпадает с направлением
оси Ox, поэтому
uu
nx
.
В теории теплопроводности доказывается, что формула (2.51)
справедлива для любых поверхностей (не только изотермических).
Поскольку
grad ,
u
un
n
где
n
– единичный вектор нормали, формулу
(2.51) можно записать в виде
grad .Q k u n t
Введем в рассмотрение вектор
grada k u
и назовем его вектором теплового
потока, тогда
,,
n
Q a n t Q a t
где
n
a
– проекция вектора
a
на
направление внешней нормали к
Рис. 2.6
поверхности.
n
̅
a
̅
V
Выделим в рассматриваемом теле некоторый участок
V
объема
V
,
ограниченный поверхностью
S
(рис. 2.6). Тепловой поток через всю
поверхность
S
за промежуток времени
t
выражается формулой
,
n
S
Q t a d
где
– мера (площадь) на поверхности.
Поток
Q
будет положительным, если выбранный участок
V
теряет
тепло, и отрицательным, если приобретает его.
Преобразуем этот интеграл с помощью формулы Остроградского –
Гаусса (поток векторного поля
a
через произвольную замкнутую
поверхность
S
равен тройному интегралу от
div ,a
взятому по объему,
ограниченному этой поверхностью):
div ,
n
SV
a d adv
где
v
– мера (объем) на участке
.V
Поскольку
222
2 2 2
div div grad divgrad
uuu
a k u k u k
x y z
или
div ,a k u
где
222
2 2 2
uuu
u
x y z
,
то
.
n
SV
a d k udv
Количество тепла, приобретенное данным участком
V
за счет
прохождения теплового потока, выразится формулой
1
V
Q t k udv
(это выражение отличается от
Q
только знаком).
Пусть в участке
V
имеются источники тепла с плотностью их
распределения
, , , .F x y z t
Тогда за промежуток времени
t
выделится
следующее количество тепла:
2
, , , .
V
Q t F x y z t dv
Итак, в течение указанного промежутка
t
участок
V
получит
12
QQ
тепла.
Подсчитаем это тепло по-другому. За время
t
температура в точке
,,M x y z
изменилась на величину
, , , , , , .
u
u x y z t t u x y z t t
t
Для такого изменения температуры элементарному участку
(содержащему точку
)M
объема
v
потребовалось количество тепла,
равное
,
u
c v t
t
где
c
– удельная теплоемкость,
– плотность, а всему
участку –
3
.
V
u
Q t c dv
t
Поскольку
3 1 2
,Q Q Q
то
, , , ,
V V V
u
t c dv t k udv t F x y z t dv
t
откуда
, , , 0.
V
u
c k u F x y z t dv
t
Это равенство должно выполняться для любого участка
,V
выделенного в рассматриваемом теле. Считая все входящие функции
непрерывными, из последнего равенства получаем
,
u
c k u F
t
1uk
uF
t c c
или
2
1
,
u
a u F
tc
(2.52)
где
2
k
a
c
,
k
a
c
.
6А+Б3 (Замечание). Температуропроводность
2
k
a
c
является
физическим параметром вещества. В нестационарных тепловых процессах
характеризует скорость изменения температуры.
6А4 (Замечание). Уравнение (2.52) называется уравнением
теплопроводности в пространстве. Если тепловые источники
отсутствуют, то получаем уравнение
2
u
au
t
или
222
2
2 2 2
u u u u
a
t
x y z
,
которое называется дифференциальным уравнением теплопроводности
(или дифференциальным уравнением Фурье) для трехмерного
нестационарного температурного поля при отсутствии внутренних
источников теплоты.
Его частный случай
22
2
22
u u u
a
t
xy
является уравнением распространения тепла в пластине, а уравнение
2
2
2
uu
a
t
x
описывает распространение тепла в стержне.
6Б5 (Замечание). Из всех этих уравнений следует, что изменение
температуры во времени
u
t
для любой точки тела пропорционально
величине
2
,a
поэтому при одинаковых условиях быстрее увеличивается
температура у того тела, которое имеет большую температуропроводность.
